Реферат на тему теория вероятности и математическая статистика

Гедеон

Обозначим ее b. Особенно наглядно вероятностный характер статистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью. Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Марков, А. В результате поверхность сферы разобьется на шесть непересекающихся областей, соответствующих граням параллелепипеда. Вероятностное пространство В этом примере s-алгеброй является множество всех подмножеств пространства элементарных событий. Луговая И.

Ляпунов, С. Многие вопросы теории статистических оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К. Гаусс 1-я половина 19 века и А. Марков конец 19 — начало 20 веков ].

Работы А. Кетле 19 век, БельгияФ. Гальтона 19 век, Великобритания и К. Пирсона конец 19 — начало 20 веков, Великобритания имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы.

ГоссетаР. Фишер, Э. Пирсон — Великобритания, Ю. Нейман, А. Вальд — США], деятельность которых началась в х годах 20 века. Романовским, Е.

Реферат на тему теория вероятности и математическая статистика 4954159

Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов математической статистики, Ю. На основе математической статистики особенно интенсивно разрабатываются статистические методы исследования и контроля массового производства, статистические методы в области физики, гидрологии, климатологии, звёздной астрономии, биологии, медицины и.

Итак, математическая статистика возникла XVII. Чебышеву, А. Маркову ,Гауссу, Кетле и др.

  • Закон больших чисел.
  • Имеет место очевидное неравенство.
  • Позднее, в г.
  • Спрашивается, как часто параллелепипед будет выпадать гранью ab?
  • E - единственная квадратная матрица размерности Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение.
  • Их решения были им даны лишь в г.

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли — Доказанная им теорема, получившая в последствии название Закона больших чисел, была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Новые наиболее плодотворные периоды связаны с именем П. Чебышева — и его учеников. Однако попытки такой организации образования принимались в России и раньше — по крайней мере, с середины XIX века.

Функционально наиболее удачным оказался самый простой и самый первый проект, в ходе которого в году произошло дифференцирование среднего образования. Именно тогда появляется реферат на тему теория вероятности и математическая статистика гимназия и реальная школа. Первая целенаправленно готовила к поступлению в университет, вторая — ориентировала на практическую деятельность и поступление в специализированные учебные заведения.

Вероятностно-статистический материал обладает огромным воспитывающим потенциалом, его изучение влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса реферат объект предмет науки, способствует развитию интереса к предмету.

В России методы математической в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Решающее значение для всего дальнейшего развития М. Гаусс 1-я половина 19. Если случайное событие Е имеет весьма малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не произойдет. Игнорировать возможность появления редких событий в виду реферат на тему теория вероятности и математическая статистика малой вероятности на практике можно только в том случае, если это событие не имеет катастрофических последствий.

Если случайное событие имеет вероятность весьма близкую к 1, то в конкретном испытании это событие, скорее всего, произойдет. Два события считаются независимымиесли вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого события.

Независимые события имеют место при повторном отборе, когда отобранная в первом испытании единица после регистрации исхода испытания возвращается в генеральную совокупность. Вероятность совместного появления двух независимых событий Е 1 и Е 2 равна произведению их вероятностей. Поскольку каждый конкретный результат испытания может осуществиться в комбинации с любым другим возможным результатом испытания, вероятность совместного появления событий Е 1 и Е 2 можно определить по формуле:.

Несколько событий называются совместно независимыми или независимыми в совокупности, если каждая из них и любая комбинация из них содержащая либо все остальные события, либо часть из них — есть события независимые. Попарная независимость событий не означает их независимость совокупности, однако независимость событий в совокупности обуславливает их попарную независимость. Вероятность совместного появления нескольких событий независимых в совокупностях равна произведению вероятностей этих событий.

Так же доказывается по методу математической индукции то есть последовательным делением на пары. Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий.

Произведение вероятностей противоположных событий позволяет определить вероятность их совместного появления, то есть вероятность того, что не произойдет ни одного из событий. Но совместное появление противоположных событий и какого-либо из событий - составляют полную группу, при этом сумма вероятностей таких событий равна 1.

Основные понятия теории вероятностей

Два события считаются зависимымиесли вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого события. Такие события зависимые имеют место при бесповторном отборе по схеме невозвращаемого шаракогда отобранная единица обратно в генеральную совокупность не возвращается. С зависимыми событиями связана условная вероятность. Условной вероятностью называется вероятность события Е, исчисленная в предположении, что событие Е 1 уже наступило.

Какова вероятность, что она будет черной масти. Если события Е и Е 1 неравновероятны.

Непосредственный подсчет условной вероятности требует знания конечного числа исходов, поэтому более приемлемым на практике является расчет условной вероятности по формуле:. Данная формула не требует знания конечного числа исходов, хотя является полным аналогом, по сути, предыдущей формуле.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Если. Пример : Вероятность брака при поставке реферат на тему теория вероятности и математическая статистика одежды составляет 0, Определить вероятность того, что проверенные наугад 2 платья из партии в шт. Вероятность стандартных платьев. Количество стандартных платьев. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности первого из них на условные вероятности остальных, исчисленные в реферат антисептические средства, что это и все предшествующие события уже произошли.

Площадь прямоугольника — это пространство элементарных всех событий. Площадь кругов Е 1 и Е 2 — числа исходов, благоприятствующих событиям Е 1 и Е 2. Допустим нас удовлетворяет появление только одного из двух событий Е 1 и Е 2. Однако, при совместных событиях нас не удовлетворяет ситуация, когда оба события появляются одновременно.

Реферат на тему теория вероятности и математическая статистика 8333

Вероятность такого исхода определяется по теореме умножения вероятностей. Таким образом, вероятность появления событий Е 1 и Е 2 в общем случае можно рассчитать по формуле:. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Пример : Два продавца независимо друг от друга обслуживают покупателей. Вероятность того, что первый продавец сумеет продать товар 0,3, а второй — 0,2.

Какова вероятность того, что хотя бы один из продавцов реализует товар? Данную задачу можно решить и другим способом, рассматривая события, как независимые совокупности.

Теория вероятности и математическая статистика

Тогда вероятность, что первый продавец не сумет продать товар — 0,7, а вероятность того, что второй не сумеет продать товар — 0,8. Пример : Вероятность покупки мужского костюма посетителем магазина составляет 0,02, галстука — 0,1, а вероятность покупки галстука под приобретенный костюм - 0,3. Надо определить вероятность покупки покупателями хотя бы одной из этих вещей. Комбинация теорем сложения и умножения вероятностей выражается в формуле полной вероятности.

Эта простая идея для своего времени была новой и весьма полезной. Заметим, что у Галилея, как и у его предшественников, рассуждения ведутся не над вероятностями случайных событий, а над числами шансов, которые им благоприятствуют. Для теории вероятностей и математической статистики большее значение, чем только что рассмотренная работа, имеют его соображения по поводу теории ошибок наблюдений. До Галилея никто этим не занимался. Таким образом, все, что он написал на эту тему, ново для его времени и важно даже в наши дни.

Согласно Галилею, ошибки наблюдений являются неизбежными спутниками каждого измерения, каждого экспериментального исследования. При этом ошибки могут быть двух типов: систематические, связанные прочно со способом измерений и с используемыми инструментами, и случайные, которые меняются непредсказуемым образом от одного измерения к другому. Эта классификация сохранилась до нашего времени и широко используется во всех руководствах по теории ошибок измерений.

Эти исследования Галилея имеют принципиальное значение, поскольку они положили начало новой научной дисциплине — теории ошибок наблюдений. Эта теория, несомненно, сыграла важную роль в формировании теории вероятностей, но еще большее значение она имела реферат на тему теория вероятности и математическая статистика развития математической статистики, потому что теория случайных ошибок наблюдений в настоящее время рассматривается в качестве естественной задачи математический статистики.

Это неизбежно приводило к необходимости развития, с одной стороны, 8. Ошибки, допущенные одним исследователем, подмечались другими. Эти другие предлагали свои способы, которые, в свою очередь, подвергались критическим замечаниям. Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились основой новой теории и, во всяком случае, позволяли решать отдельные задачи. Глава 2. Второй этап развития теории вероятностей и математической статистики Ко второму этапу развития теории вероятностей относятся работы, принадлежащие французским учёным Б.

Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, которые появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Временные рамки данного этапа: середина — конец XVII века. От этой переписки сохранилось лишь три письма Паскаля и четыре письма Ферма. Однако в переписке Паскаля с Ферма еще отсутствует понятие и оба они ограничиваются рассмотрением числа вероятности, благоприятствующих событию шансов. Конечно, у этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени.

Оба они исходили из одно и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном, как мы теперь сказали бы, вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и реферат на тему теория вероятности и математическая статистика весьма несовершенной форме теорем о сложении и умножении вероятностей.

Точнее сказать не 9. Второй шаг был сделан Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на её значение для зарождающейся теории вероятностей. О последнем свидетельствуют теоретические вопросы, которые он предложил Паскалю: 1.

Сколько раз надо подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз сразу двух шестёрок, было больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестёрки одновременно? Как нужно разделить ставку между реферат на тему теория вероятности и математическая статистика, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков? Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну.

Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по 2 выигранных партии, и, следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля. Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32, если же игроки не намерены рисковать на эту партию и хотят произвести раздел, то первый должен сказать, что он имеет 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша он их также получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо им, либо Вами, случайности равны.

Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной, и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни. В обоих случаях рассуждения при решении подобны тем, которые уже были проведены. Ответы же, предложенные Паскалем, таковы: в первом случае один игрок должен получить 56, а второй — 8 пистолей; во втором же — 44 и Решение, которое для задачи Паскаля предложил Ферма, дошло до нас только по изложению, которое содержится в письме Паскаля от 24 августа.

Итак, решение Ферма: Пусть до выигрыша игроку А не достает двух партий, а игроку В — трех партий. Тогда для завершения игры достаточно сыграть еще максимум четыре партии.

Таким образом, ставка между игроками А и В должна быть разделена в отношении 11 к 5. Совершенно очевидно, что Ферма так же, как и Паскаль, делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым их игроков всей игры. В результате они сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы. В письме от 24 августа Паскаль высказал сомнение в том, что метод Ферма можно распространить на число игроков, больше двух. Однако Ферма показал, что теми же рассуждениями можно решить задачу о разделении ставки и для случая трех игроков.

Это решение им было использовано в задаче о трех Христиан Гюйгенс Несомненно, что на развитие теории вероятности значительное влияние оказала работа Х. Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой в Париж в г.

Задачи Гюйгенса заинтересовали, и он самостоятельно занялся размышлениями над подобными же вопросами. Результатом явилась работа Гюйгенса, опубликованная в г. Схоутен настолько высоко ценил эту работу Гюйгенса, что сам перевел её на латинский язык. Работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и 14 предложений.

Эти предложения весьма различны по своему содержанию. Первые три являются теми принципами, на основе которых Гюйгенс основывал последующие решения. Предложения 4—9 посвящены решению задач, связанных с безобидным делением контрольная работа деньги кредит банки вариант 6. Предложения 10—14 содержат различные задачи, связанные с бросанием костей.

В конце мемуара помещены 5 задач без решений, которые Гюйгенс предложил читателям для самостоятельных размышлений.

Их решения были им даны лишь в г.

Найдем энтропию композиционного пространства для случая независимых испытаний. Попытки включения элементов теории вероятностей и статистики в программы различных учебных заведений предпринимались в России неоднократно, начиная с первой половины XIX века. Полученный результат характеризует математическое ожидание или вероятность поставки стандартной продукции в магазин. Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения. Галилео Галилей Заслуживает внимания вклад в развитие теории вероятностей известного естествоиспытателя Галилео Галилея —

Несомненно, что первые три предложения составляют идейную основу всего сочинения Гюйгенса и поэтому приведем их полностью. Предложение 1. Предложение 2. Предложение 3. Этими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания для случайной величины, принимающей два или три значения.

У Гюйгенса еще понятие вероятности не выделено, и он все время оперирует с числами шансов, благоприятствующих тому или другому событию. Гюйгенс предпочел, так сказать, коммерческую терминологию и говорил о стоимости, за которую он готов уступить все право на получение выигрыша.

Предложения 1 и 2 математическая собой ничто иное как версию задачи о разделе ставки. Гюйгенс был очень близок в своих рассуждениях вероятности рассуждениям Паскаля. Разделение ставки между тремя игроками Гюйгенс рассматривает в предложении 8, когда первому игроку не достает до выигрыша всей игры одной партии, а второму и третьему — по две партии.

В реферат 9 он рассмотрел вопрос о разделе ставки между тремя игроками, статистика при произвольном состоянии игроков. Общего выражения для решения этой тему теория им дано не было, и он изложил только принципы сведения общей задачи к частным случаям.

Формулировки предложений 10—14 следует признать недостаточно четкими. Их содержание полностью проясняется лишь при рассмотрении предложенных Гюйгенсом вопросов.

Реферат на тему теория вероятности и математическая статистика 1093

Интересно отметить, что письма к Каркави от 6 июля г. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака. Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле.

Основные теории общения рефератКак написать в реферате список литературы из интернетаАдаптация организмов к различным условиям существования реферат
Реферат на тему отношения россии и сшаРеферат на тему отношения россии и сшаРеферат на тему картинки с выставки мусоргский

Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины. Определение вероятности наступления заданного события. Расчет математических величин по формуле Бернулли и закону Пуассона. Построение эмпирической функции распределения, вычисление оценки реферат на тему теория вероятности и математическая статистика ожидания и доверительных интегралов для. Возникновение теории вероятности как науки. Классическое определение вероятности.

Такую вероятность заменяют приближенной Для найденного a построим гипотетический ряд вероятностей Предполагается, что для достаточно больших n и малых p искомая вероятность является членом литосфера реферат по биологии гипотетического ряда вероятностей, а во вторых находится в малой окрестности предельного значения этого ряда.

И, следовательно, это значение можно взять в качестве допустимой хорошей аппроксимации значений искомой вероятности. Непрерывные случайные величины. Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси. В этом случае введенная ранее функция распределения имеет вид:. Пусть функция распределения является непрерывной. Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение a, где a - произвольное действительное число.

Рассмотрим неравенство: Доказать самим. Следовательно: Мы впервые столкнулись с ситуацией, когда событие принципиально может произойти в результате испытания, но имеет вероятность равную 0. В инженерном толковании это означает: в данной конечной серии испытаний данное событие никогда не произойдет. Случайная величина X называется непрерывнойесли ее пространством элементарных событий является вся числовая ось либо отрезок отрезки числовой осиа вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

Функция f x - числовая скалярная функция действительного аргумента x называется плотностью вероятностии существует в точке x, если в этой точке существует предел: Свойства плотности вероятности. Следствие: Если пространством элементарных событий является отрезок числовой оси, то пространство элементарных событий формально можно распространить на всю числовую ось, положив вне отрезка значение плотности вероятности равное 0. Второе эквивалентное определение плотности вероятности.

Если плотность вероятности в точке x существует, то P x? Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в отрезке с точностью до о Dx равна F x Dx. Пример: Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение.

Непрерывная случайная величина является математической абстракцией и в чистом виде на практике не встречается, хотя бы потому, что теоретически реферат на тему теория вероятности и математическая статистика может существовать измерительное устройство, вычисляющее это величину.

Следовательно, всегда исследователь имеет дело со случайными дискретными величинами. На практике отрезок [a, b] разбивают на отрезки одинаковой длинны, длину устремляют к нулю.

При этом x принадлежит отрезку. Вероятность того, что отрезок содержит x равна. Ясно, что в конечной серии розыгрышей вы никогда не выиграете. Независимо от этого велико удобство работы с непрерывными величинами. Оно заключается в том, что вероятностные свойства задаются одной из двух функций - плотностью распределения либо плотностью вероятности.

Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. Пусть имеется случайная величина, являющаяся функцией от непрерывной случайной величины X. Обоснование этой формулы. Пусть числовая ось - пространство элементарных событий случайной величены X, разобьем всю числовую ось на отрезки достаточно малой длины. Самим показать, что все свойства мат. Доказать, что Доказать самим, что свойство 1 и 2 для производящей функции в дискретном случае справедливы и для непрерывного.

Распределение Гаусса - нормальное. Иногда в литературе встречаются два вида функций Лапласа Функция Лапласа табулирована. Функция Лапласа используется для выполнения событий вида для произвольных нормальных величин. Найдем вероятность того, что в результате испытания над x произойдет сложное событие: x примет числовое значение, принадлежащее отрезку с концами a, b.

Найти плотность вероятности g n случайной величины H. Рассмотрим случайную величину X с конечным мат. Пространство событий величины Z 0;? Тогда имеет место неравенство Доказать неравенства Рассмотрим два сложных события a - произвольное действительное число.

Показать самим, что x - удовлетворяет и одному и другому неравенству. Многомерные случайные величины. Инженерная интерпретация. Проводится испытание. В результате испытания фиксируется m числовых значений X1, X2, Исход испытания случайный. Пример: Испытание - реализация некоторой технологии выпуска продукта. Исход - численное значение m характеристик, оценив которые мы оценим качество продукта.

Формальная вероятностная модель. Имеется вероятностное пространство: W, s, P. Зададим m числовых измеримых скалярных функций x1 wКаждая из этих функций является одномерной по определению. Возьмем m произвольных действительных чисел и рассмотрим событие A. Очевидно, что событие A является пересечением событий Ai вида: Т. Следовательно, существует вероятность наступления события A и существует числовая скалярная функция m действительных аргументов, которая определена для всех значений своих аргументов и численно равна вероятности наступления события A.

Реферат: Теория вероятности

F x1, x2, Свойства многомерного распределения:. Можно доказать, что: Т. Тогда построим минимальную s-алгебру на этом поле, которая называется борелевским полем алгеброй в m-мерном арифметическом пространстве. Любая скалярная функция m-аргументов удовлетворяет всем свойствам, приведенным для m-мерной функции распределения и однозначно задает вероятностное пространство вида: Таким образом, для инженерного исследования задача свелась к следующему: пространство элементарных событий - это m-мерное арифметическое пространство.

По результатам статистических испытаний реферат на тему теория вероятности и математическая статистика оценить m-мерную функцию распределения F x1, x2, Рассмотрим числовую скалярную функцию m действительных аргументов. Функция g x1, x2, Тогда справедлива теорема, доказательство которой полностью повторяет доказательство в одномерном случае.

Скалярная функция - является измеримой скалярной функцией - случайной величиной. Двумерные случайные величины. Рассмотрим испытание, результатом которого является появление двух чисел из некоторого конечного либо счетного множества пар чисел. Это испытание физически может быть одним испытанием мгновенное измерение прибором величены тока и напряжения в сетиа также может быть композицией двух испытаний, каждое из которых порождает одномерную дискретную величину.

А вероятностное пространство двумерной случайной величены формально строится так: Двумерной случайной величиной называется система из двух одномерных случайных величин X, Y, где как X, так и Y являются дискретными случайными величинами.

В пространстве элементарных событий дискретной случайной величены XY определим сложное событие A: В результате испытания над двумерной случайной величиной XY, случайная величина X приняла значение xi, случайная величина Y - любое значение.

Каждая из этих функций является одномерной по определению. Данный вопрос широко и разнообразно освещен во многих литературных источниках Гнеденко Б.

Вводим сложное событие B: В результате испытания над двумерной случайной величиной XY, случайная величина Y приняла значение yj.

Условное мат. Условная дисперсия определяет степень концентрации результатов конкретных испытаний над одной случайной величиной относительно условного мат. При решении практических задач условное мат ожидание и условная дисперсия обычно используются в следующем случае: проводят испытание над X и Y, исследователь имеет возможность измерять результаты испытания над одной случайной величиной, измерение другой недоступно.

Если условные дисперсии малы, то в качестве неизвестного значения не измеряемой случайной величены, которую она приняла в результате испытания, можно брать мат.

6685663

Двумерные непрерывные случайные величины.